Las ecuaciones de segundo grado son estudiadas durante el colegio y muchas veces nos ocasionan problemas porque no sabemos como solucionarlas. En este artículo te explicamos como dejar atrás esos dolores de cabeza. Averigua como resolver una ecuación de segundo grado por medio de la factorización o usando la fórmula general

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una expresión de la forma:

ax^{2}+bx+c=0 con a\neq 0

donde x es la variable o incógnita a descubrir, de manera general las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, pero no siempre se cumple.

Las letras a, b y c que acompañan a la variable son los coeficientes que puede ser cualquier número.


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Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver de diferentes maneras:

  1. Por factorización
  2. Por la formula

Resolver una ecuación de segundo grado por factorización

Este método es muy utilizado cuando se resuelven ejercicios sin calculadora, lo interesante de este método es que es muy rápido y confiable.

Se puede utilizar dependiendo del caso, cuando los ejercicios son muy simples.

A continuación resolveremos un ejemplo de su resolución:

  • x^{2}+5x+6=0

Se abre dos paréntesis, el primero con el signo del número de la mitad y el segundo con la ley de signos del segundo y tercer numero de la ecuación.

(\; +\; )(\; +\; )=0

Luego repartimos las x al inicio de cada paréntesis

(x+\; )(x+\; )=0

Después pensamos dos números que multiplicados resulten en el tercer número (6) y que sumados o restados den el termino de la mitad (5)

(x+3)(x+2)=0

Al final aplicamos el teorema del factor nulo, cada paréntesis se iguala al 0

(x+3)=0

(x+2)=0

Y por cada uno se despeja la y cada uno se toma como un resultado de la variable

x=-3

x=-2

Ahora resolveremos de la misma manera pero con pequeñas variaciones:

  • -x^{2}+4x+32=0

Primero debemos resolver el signo negativo que se encuentra delante de la ecuación

x^{2}-4x-32=0

(\; -\; )(\; +\; )=0

(x-\; )(x+\; )=0

(x-8)(x +4 )=0

\left\{\begin{matrix} (x-8)=0\\(x +4)=0 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x=8\\x=-4 \end{matrix}\right.

Resolver una ecuación de segundo grado por medio de la fórmula general

La fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado es la siguiente:

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

La parte que se encuentra al interior de la raíz se lo conoce como el discriminante (\Delta =b^{2}-4ac), y brinda cierta información de la ecuación.

  • Si el discriminante es mayor a cero b^{2}-4ac=0, la ecuación tiene una sola solución

 

  • Si el discriminante el menor a cero b^{2}-4ac< 0, la ecuación tiene soluciones imaginarias o no se puede resolver dentro de los números reales.

Veamos un ejemplo de cada caso:

  • Para un discriminante mayor a 0
  • 2x^{2}+3x-27=0

\Delta =b^{2}-4ac=(3)^{2}-4(2)(-27)=9+216=225

x=\frac{-3\pm \sqrt{(3)^{2}-4(2)(-27)}}{2(2)}=\frac{-3\pm \sqrt{225}}{4}=\frac{-3\pm 15}{4}

\left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{-3+15}{4}=\frac{12}{4}=3\\ x_{2}=\frac{-3-15}{4}=\frac{-18}{4}=-4,5 \end{matrix}\right.

  • Para un discriminante igual a 0
  • x^{2}+4x+4=0

\Delta =b^{2}-4ac=(4)^{2}-4(1)(4)=16-16=0

x=\frac{-4\pm \sqrt{(4)^{2}-4(1)(4)}}{2(1)}=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}=\frac{-4}{2}

x=-2

  • Para un discriminante menor a 0
  • 4x^{2}+7x+6=0

\Delta =b^{2}-4ac=(7)^{2}-4(4)(6)=49-96=-47

x=\frac{-7\pm \sqrt{(7)^{2}-4(4)(6)}}{2(4)}=\frac{-7\pm \sqrt{-47}}{8}=\varnothing

No se puede resolver por que las soluciones no existen, o pertenecen al conjunto de números imaginarios.

Ejercicios

  1. x^{2}-x-6=0\; \; \; resp:-2;\; 3
  2. 2x^{2}+7x-4=0 \;\; \; resp: -4;\; 0,5
  3. -30x^{2}-7x+15=0\; \; \; resp:\frac{3}{5};\; \frac{-5}{6}
  4. 6x^{2}=10-11x\; \; \; resp:\frac{-5}{2};\; \frac{2}{3}
  5. 60=8x^{2}+157x\; \; \; resp:-20;\; \frac{3}{8}

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